Parameterschätzung eines autoregressiven gleitenden Durchschnittsmodells Zitieren Sie diesen Artikel als: Nakano, J. Ann Inst. Stat. Math. (1982) 34: 83. doi: 10.1007BF02481009 Ein Schätzer des Parametersatzes eines autoregressiven gleitenden Durchschnittsmodells wird durch Anwenden der Methode der kleinsten Fehlerquadrate auf das geglättete Periodogramm. Es zeigt sich als asymptotisch effizient und normal verteilt unter der Normalität und den Kreiszustand des Erzeugungsprozesses. Ein Berechnungsverfahren wird nach dem Newton-Raphson-Verfahren konstruiert. Mehrere Computersimulationsergebnisse werden gegeben, um die Nützlichkeit des vorliegenden Verfahrens zu demonstrieren. References Anderson, T. W. (1977). Schätzung für autoregressive gleitende Durchschnittsmodelle im Zeit - und Frequenzbereich, Ann. Statist. , 5. Mathematik, Mathematik, Physik, Mathematik, Mathematik, Physik, Mathematik, Mathematik, Mathematik, Mathematik, Mathematik, Mathematik, Mathematik, Mathematik, Mathematik, Mathematik, Mathematik, Mathematik, Zeitreihen, Ph. D. Dissertation, Department of Statistics, Stanford University, Davis, HT und Jones, RH (1968), Schätzung der Innovationsvarianz einer stationären Zeitreihe, J. Amer. Statist. Ass., 63, 141149 Die erhöhte Rechengeschwindigkeit und die Entwicklungen in der Robustheit von Algorithmen haben die Möglichkeit geschaffen, automatisch ein gut passendes Zeitreihenmodell für stochastische Daten zu identifizieren Englisch: www. tab. fzk. de/en/projekt/zusammenf...ng/ab117.htm Die erhöhte Rechengeschwindigkeit und die Entwicklung der Robustheit von Algorithmen haben die Möglichkeit geschaffen, automatisch ein passendes Zeitreihenmodell für stochastische Daten zu identifizieren. Es ist möglich, mehr als 500 Modelle zu berechnen und nur eine auszuwählen, die sicherlich eines der besseren Modelle ist, wenn nicht das beste. Dieses Modell charakterisiert die spektrale Dichte der Daten. Zeitreihenmodelle sind für Zufallsdaten hervorragend, wenn der Modelltyp und die Modellreihenfolge bekannt sind. Für unbekannte Dateneigenschaften muss eine große Anzahl von Kandidatenmodellen berechnet werden. Dies schließt notwendigerweise zu niedrige oder zu hohe Modellordnungen und Modelle der falschen Typen ein, wodurch robuste Schätzmethoden erforderlich sind. Der Computer wählt eine Modellreihenfolge für jeden der drei Modelltypen aus. Aus diesen drei wird der Modelltyp mit der kleinsten Erwartung des Vorhersagefehlers ausgewählt. Dieses einzigartige ausgewählte Modell enthält genau die statistisch signifikanten Details, die in den Daten vorhanden sind. 1 optimaler asymptotischer Straffaktor 3 (Broersen, 2000b Broersen und Wensink, 1996). 6.2 MA-Schätzung Die Durbins-Methode für die MA-Schätzung garantiert die Invertierbarkeit mit allen Nullen im Einheitskreis (-Durbin, 1959-). Theoretisch ist ein MA (q) - Modell mit einem AR () - Modell unter Verwendung von B (z) 1A (z) äquivalent. Durbins-Methode verwendet die geschätzten Parameter eines langen AR-Modells, um das MA-Modell zu approximieren. Natürlich. Von P. M. T. Broersen - IEEE Trans. Über Instrumentierung und Messung. 2000. ZusammenfassungDiese Analyse beschränkt sich auf die spektrale Analyse stationärer stochastischer Prozesse mit unbekannter spektraler Dichte. Die wichtigsten spektralen Schätzmethoden sind: parametrisch mit Zeitreihenmodellen oder nichtparametrisch mit einem Fensterperiodogramm. Ein einziges Zeitreihenmodell wird mit einem Str. ZusammenfassungDiese Analyse beschränkt sich auf die spektrale Analyse stationärer stochastischer Prozesse mit unbekannter spektraler Dichte. Die wichtigsten spektralen Schätzmethoden sind: parametrisch mit Zeitreihenmodellen oder nichtparametrisch mit einem Fensterperiodogramm. Ein einziges Zeitreihenmodell wird mit einem statistischen Kriterium aus drei zuvor geschätzten und ausgewählten Modellen ausgewählt: dem besten autoregressiven (AR) Modell, dem besten gleitenden Durchschnitt (MA) und dem besten kombinierten ARMA Modell. Die Genauigkeit des Spektrums, berechnet aus diesem einzigen ausgewählten Zeitreihenmodell, wird mit der Genauigkeit einiger Fensterperiodenschätzwerte verglichen. Das Zeitreihenmodell ergibt im allgemeinen ein Spektrum, das besser ist als das bestmögliche Fensterperiodogramm. Es ist eine Tatsache, dass ein einziges gutes Zeitreihenmodell automatisch für statistische Daten mit unbekannter spektraler Dichte ausgewählt werden kann. Es ist Fiktion, dass objektive Entscheidungen zwischen windowed Periodogramme gemacht werden können. Index TermsARMA-Modelle, Identifikation, Auftragsauswahl, parametrisches Spektrum, Spektralgenauigkeit, Spektralschätzung, Zeitreihen. I. een formuliert für spezifische MA und ARMA Algorithmen. Nach der Entdeckung der optimalen Länge des langen autoregressiven Zwischenmodells 15, 16 können die Durbins-Verfahren -17-, 18 verwendet werden. Dieses Papier beschäftigt sich mit stationären stochastischen Prozessen mit unbekannten Spektren, nicht mit deterministischen oder periodischen Signalen Manuskript erhielt 26. Mai 1998 überarbeitet 10. März 2000. Die autho. Von P. M. T. Broersen - in Signal Process. VIII, Proc. Eusipco Conf. 1996. Die Durbinaposs-Methode für die Verschiebung der durchschnittlichen (MA) Schätzung verwendet die geschätzten Parameter eines langen AutoRegressive (AR) - Modells, um die gewünschten MA-Parameter zu berechnen. Eine theoretische Ordnung für dieses lange AR-Modell ist, aber sehr hohe AR-Aufträge führen zu ungenauen MA-Modellen in der endlichen Beispielpraxis. Ein neues t. Die Durbinampaposs-Methode für die gleitende durchschnittliche (MA) Schätzung verwendet die geschätzten Parameter eines langen AutoRegressive (AR) - Modells, um die gewünschten MA-Parameter zu berechnen. Eine theoretische Ordnung für dieses lange AR-Modell ist, aber sehr hohe AR-Aufträge führen zu ungenauen MA-Modellen in der endlichen Beispielpraxis. Ein neues theoretisches Argument wird vorgestellt, um einen Ausdruck für die beste endliche lange AR-Ordnung für ein bekanntes MA-Verfahren und eine gegebene Probengröße abzuleiten. Intermediate AR-Modelle von genau dieser Reihenfolge produzieren die genauesten MA-Modelle. Diese neue Reihenfolge unterscheidet sich von der besten AR-Reihenfolge für die Vorhersage verwendet werden. Es wird ein Algorithmus vorgestellt, der die Verwendung der Theorie für die beste lange AR-Ordnung in bekannten Prozessen auf Daten eines unbekannten Prozesses ermöglicht. I. Theorie für die beste lange AR-Reihenfolge in bekannten Prozessen zu Daten eines unbekannten Prozesses. I. EINFÜHRUNG Bei der Suche nach einer sicheren, robusten und praktischen Lösung für das MA-Schätzproblem ist die Durbin039-Methode -1 - vielversprechend. Ein nichtlineares Schätzproblem wird durch zwei Stufen linearer Schätzung ersetzt. Zuerst werden die Parameter eines langen autoregressiven Modells aus den Daten abgeschätzt. Danach wird ein zweiter p. Von Jorge Mari, Anders Dahln, Anders Lindquist - Automatica J. IFAC. 1998. In dieser Arbeit betrachten wir ein dreistufiges Verfahren zur Identifizierung von Zeitreihen, basierend auf Kovarianz-Erweiterung und Modellreduktion und präsentieren eine vollständige Analyse der statistischen Konvergenzeigenschaften. Eine Teilkovarianzsequenz wird aus statistischen Daten abgeschätzt. Dann eine höhere Ordnung. In dieser Arbeit betrachten wir ein dreistufiges Verfahren zur Identifizierung von Zeitreihen, basierend auf Kovarianz-Erweiterung und Modellreduktion und präsentieren eine vollständige Analyse der statistischen Konvergenzeigenschaften. Eine Teilkovarianzsequenz wird aus statistischen Daten abgeschätzt. Dann wird ein Maximum-Entropie-Modell höherer Ordnung ermittelt, welches schließlich durch ein Modell niedrigerer Ordnung durch eine stochastisch ausgeglichene Modellreduktion approximiert wird. Solche Verfahren wurden zuvor in verschiedenen Kombinationen untersucht, aber eine Gesamtkonvergenzanalyse, die alle drei Schritte umfasst, fehlt. Angenommen, die Daten werden aus einem echten finiten-dimensionalen System erzeugt, das minimalphasig ist, wird gezeigt, dass die Übertragungsfunktion des geschätzten Systems in H zu der wahren Übertragungsfunktion neigt, wenn die Datenlänge zu unendlich ist, wenn die Kovarianz-Erweiterung und die Modellreduktion durchgeführt werden richtig. Die vorgeschlagene Identifizierung Verfahren, und einige Variationen von it, werden durch Simulationen ausgewertet. 1. zurück auf die Wold-Zerlegung 55, wo L 2 - Konvergenz von hochrangigen AR-Modellen zu allgemeinen analytischen Modellen gezeigt wird. Pioniere bei der Verwendung dieses Konzeptes für die Systemidentifikation sind Durbin -12, 13- und Whittle 54 Konvergenz-Eigenschaften solcher Approximationen wurden von Berk 2 untersucht und später in 36, 34, 33, 7 verfeinert. Das interessante Papier 7 enthält schöne Proofs von einigen der Konvergenz. Von P. M. T. Broersen, S. De Waele - Proc. 2. IEEE Benelux Signal Proc. Symp. SPS-2000. 2000. ABSTRAKT: Maximale Likelihood (ML) Schätzung maximiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion und ist ein gefeiertes Prinzip in der linearen Regressionsanalyse. Asymptotisch wird die Cramr-Rao-Untergrenze für die Kovarianzmatrix von ungünstigen geschätzten Parametern durch den Maximum-Likelihood-Schätzer erreicht. Mit asymp. ABSTRAKT: Maximale Likelihood (ML) Schätzung maximiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion und ist ein gefeiertes Prinzip in der linearen Regressionsanalyse. Asymptotisch wird die Cramr-Rao-Untergrenze für die Kovarianzmatrix von ungünstigen geschätzten Parametern durch den Maximum-Likelihood-Schätzer erreicht. Mit asymptotischen Argumenten wurde bewiesen, dass dieses Prinzip auch auf die Autoregression und die allgemeineren autoregressiven Moving Average (ARMA) Modelle in der Zeitreihenanalyse angewendet werden kann. Es wird zumindest in Lehrbüchern vorgeschlagen, dass eine nähere Annäherung der exakten Wahrscheinlichkeit in der Maximierung eine bessere Schätzung für Zeitreihenmodelle erzeugen wird. Im Gegensatz dazu zeigt die Finite-Probe-Praxis oft anders. Einige finite Beispiel-Tatsachen und ihre Einschätzung Implikationen werden diskutiert. Als anfängliche Vorprobe-Innovationen und unbedingte Kleinstquadrate (ULS) mit Rückprojektion für Vorproben-Approximationen 3,20 Verwendung einer langen Kovarianz-Schätzung 5,18,21 Unter Verwendung eines langen AR-Modells -19,23- als Zwischenprodukt. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist symmetrisch für Nullen, die in Bezug auf den Einheitskreis gespiegelt sind, so daß die mit ML erhaltenen Spiegelungsnullen keine Einwände haben. Least squares solutions CLS und U. von Joseph M. Francos, Benjamin Friedlander. Dieses Papier betrachtet das Problem der Schätzung der Parameter von zweidimensionalen gleitenden mittleren Zufallsfeldern. Zuerst beschäftigen wir uns mit dem Problem, die Kovarianzmatrix der nicht symmetrischen halbplanaren, nicht-kausalen und quadratischen gleitenden mittleren Zufallsfelder in Form der Modellparameter auszudrücken. Dieses Papier betrachtet das Problem der Schätzung der Parameter von zweidimensionalen gleitenden mittleren Zufallsfeldern. Zuerst beschäftigen wir uns mit dem Problem, die Kovarianzmatrix der nicht symmetrischen halbplanaren, nicht-kausalen und quadratischen gleitenden mittleren Zufallsfelder in Bezug auf die Modellparameter auszudrücken. Unter der Annahme, dass das zufällige Feld Gauss ist, ergibt sich für die Cramer-Rao-Untergrenze ein geschlossener Formausdruck für die Fehlerabweichung bei der gemeinsamen Schätzung der Modellparameter. Ein rechnerisch effizienter Algorithmus zur Schätzung der Parameter des gleitenden mittleren Modells wird entwickelt. Der Algorithmus passt anfangs zu einem zweidimensionalen autoregressiven Modell auf das beobachtete Feld und verwendet dann die geschätzten Parameter, um das gleitende Durchschnittsmodell zu berechnen. Ein Maximum-Likelihood-Algorithmus für die Schätzung der MA-Modellparameter wird ebenfalls vorgestellt. Die Performance der vorgeschlagenen Algorithmen wird durch Monte-Carlo-Simulationen illustriert und mit der Cramer-Rao-Bindung verglichen. Von P. M. T. Broersen - Prozesse, Signalverarbeitung IX, Proc. Eusipco Conf. Rhodes, Griechenland. 1998. Neue Entwicklungen in der Zeitreihenanalyse können verwendet werden, um eine bessere spektrale Darstellung für unbekannte Daten zu bestimmen. Jeder stationäre Prozess kann mit einem der drei Modelltypen AR (autoregressiv), MA (gleitender Durchschnitt) oder dem kombinierten ARMA-Modell genau modelliert werden. Im Allgemeinen ist die beste Art un. Neue Entwicklungen in der Zeitreihenanalyse können verwendet werden, um eine bessere spektrale Darstellung für unbekannte Daten zu bestimmen. Jeder stationäre Prozess kann mit einem der drei Modelltypen AR (autoregressiv), MA (gleitender Durchschnitt) oder dem kombinierten ARMA-Modell genau modelliert werden. Im Allgemeinen ist der beste Typ unbekannt. Werden die drei Modelle jedoch mit geeigneten Methoden abgeschätzt, so kann in der Praxis ein einziges Zeitreihenmodell automatisch gewählt werden. Die Genauigkeit des Spektrums, berechnet aus diesem einzigen AR-MA Zeitreihenmodell, wird mit der Genauigkeit vieler verjüngter und fensterartiger Periodogrammschätzungen verglichen. Das Zeitreihenmodell ergibt typischerweise ein Spektrum, das besser ist als das beste aller Periodogramschätzungen. 1. wenn Modelle hoher Aufträge berücksichtigt werden. Für MA - und ARMA-Modelle war eine neue Entwicklung in der Zeitreihenanalyse notwendig, um zuverlässige Schätzalgorithmen zu haben, die für alle Stichprobengrößen -7,8,9,10- gut funktionieren. Das ist die Entdeckung der optimalen Länge des langen autoregressiven Zwischenmodells für Durbins-Methoden 7,8. Dieses lange AR-Modell wird verwendet, um die MA-Parameter zu bestimmen. Mit Schiebefenster. Von Piet M. T. Broersen, S. De Waele - IEEE Trans. Instrument Gemessen 2000. Zusammenfassung Eine neue Methode zur Extraktion von Merkmalen aus stationären stochastischen Prozessen wurde auf ein medizinisches Erkennungsproblem angewendet. Es veranschaulicht eine praktische Anwendung der automatischen Zeitreihenmodellierung. Erstens sind der Modelltyp und die Modellreihenfolge für zwei Zeitreihen-Prototypmodelle se. Zusammenfassung Eine neue Methode zur Extraktion von Merkmalen aus stationären stochastischen Prozessen wurde auf ein medizinisches Erkennungsproblem angewendet. Es veranschaulicht eine praktische Anwendung der automatischen Zeitreihenmodellierung. Zuerst werden der Modelltyp und die Modellreihenfolge für zwei Zeitreihen-Prototypenmodelle ausgewählt. Die Prototypen stellen die Lungengeräusche eines einzelnen gesunden Subjekts vor und nach der Anwendung von Methacholin dar. Unter Verwendung des Modellfehlers ME als Maß für die Differenz zwischen Zeitreihenmodellen können neue Daten in Klassen unterteilt werden, die zu den Prototypenmodellen für diese Person gehören. Die Prototypenmodelle werden aus wenigen Exspirationszyklen unter bekannten Bedingungen erhalten. Dies ist ausreichend, um die Anwesenheit von Methacholin in neuen Daten desselben Subjekts zu detektieren, wenn er in der Lage ist, stationäre Zustände zu halten, indem es genau dem vorgeschriebenen Atemmuster folgt. Es ist nicht notwendig, den gleichen Modelltyp und die gleiche Modellreihenfolge für die Prototypen und für neue Daten zu verwenden. Automatisch und individuell ausgewählte Modelle für Prototypen und Daten ermöglichen eine gute Detektion von Methacholin. Index TermsDetection, Modellfehler, Vorhersagefehler, Prototypmodell, Spektralschätzung. I nt basiert die Kombinierte Information Criterion CIC auf der Erwartung und auf der Varianz des Logarithmus der Restvarianz als Funktion der Modellreihenfolge 11. Die Durbins-Methode für MA-12- und für die ARMA 13-Schätzung besteht Der Verwendung der Parameter eines Langzeit-Autoregressionsmodells, um MA-Parameter zu berechnen. Auf diese Weise wird die nichtlineare Schätzung durch eine Sequenz approximiert. Von Jan S. Erkelens, Arturo Tejada, Arnold J. Den Dekker - IEEE-Transaktionen zur Instrumentierung und Messung. 2013. Zusammenfassung Drei wichtige parametrische Modelle zur Beschreibung der Korrelationsfunktionen und Spektren stationärer stochastischer Prozesse sind autoregressive (AR), Moving Average (MA) und autoregressive Moving Average (ARMA) Modelle. Vor kurzem wurde die MATLAB-Toolbox ARMASA öffentlich gemacht. Zusammenfassung Drei wichtige parametrische Modelle zur Beschreibung der Korrelationsfunktionen und Spektren stationärer stochastischer Prozesse sind autoregressive (AR), Moving Average (MA) und autoregressive Moving Average (ARMA) Modelle. Vor kurzem wurde die MATLAB-Toolbox ARMASA öffentlich zugänglich gemacht. Diese Toolbox bietet State-of-the-Art-Algorithmen zur automatischen Identifikation und Auswahl zwischen den Modellen auf der Grundlage der geschätzten Vorhersage Fehler durchzuführen. ARMASA arbeitet auf einem einzigen Segment von Daten, während in einigen Anwendungen die Daten als mehrere Segmente zur Verfügung stehen. Wir konnten jedes Segment unabhängig verarbeiten und die geschätzten Autokorrelationsfunktionen oder Spektren anschließend mitteln. Eine bessere Leistung kann jedoch erwartet werden, wenn alle Segmente gleichzeitig verarbeitet werden, und zwar aus zwei Gründen. Anfänglich hängt die Vorspannung in den geschätzten Modellparametern von der Anzahl der Beobachtungen in einem Segment ab. Mittelwertbildung ual Varianz für alle Modellreihen von Interesse. Die Residuen sind Schätzungen der Innovationen (n) in (1) und können durch Ersetzen der geschätzten Modellparameter gefunden werden. Details hierzu finden Sie in den Versionen 2, -19 und 20. Die Algorithmen für die AR-, MA - und ARMA-Modellidentifizierung, die in der ARMASA-Toolbox implementiert sind, werden nun skizziert. III. MODEL-IDENTIFIZIERUNG IN ARMASA A. AR Modellidentifikation Die Restmenge. Von Piet Broersen, Stijn De Waele. Ein Fenster - und Tapered-Periodogramm kann als Fourier-Transformation einer geschätzten Kovarianzfunktion von verjüngten Daten multipliziert mit einem Verzögerungsfenster berechnet werden. Kovarianzen von endlicher Länge können auch als gleitende (MA) Zeitreihenmodelle modelliert werden. Die direkte Äquivalenz zwischen Periodogrammen und MA. Ein Fenster - und Tapered-Periodogramm kann als Fourier-Transformation einer geschätzten Kovarianzfunktion von verjüngten Daten multipliziert mit einem Verzögerungsfenster berechnet werden. Kovarianzen von endlicher Länge können auch als gleitende (MA) Zeitreihenmodelle modelliert werden. Die direkte Äquivalenz zwischen Periodogrammen und MA-Modellen wird in der Momentenmethode für die MA-Schätzung gezeigt. Eine bessere MA-Repräsentation für die Kovarianz und die spektrale Dichte wird mit Durbinampaposs verbessert MA-Methode gefunden. Das nutzt die Parameter eines langen autoregressiven (AR) Modells, um MA-Modelle zu finden, gefolgt von der automatischen Auswahl des MA-Auftrags. Es wird ein Vergleich zwischen den beiden MA-Modelltypen durchgeführt. Das Beste aus vielen MA-Modellen aus fensterartigen Periodogrammen wird mit dem ausgewählten MA-Modell mit Durbinampaposs-Methode verglichen. Letzteres hat typischerweise eine bessere Qualität. Stichwörter: Spektralschätzung, Ordnungsauswahl, Spektralabstand, Spektralfenster, Spektralfehler 1. EINFÜHRUNG Zeitreihenanalyse oder parametrische Spektralschätzung. Ist die Darstellung der Kovarianz keine ausreichende Schätzung für die MA-Parameter. Es existiert ein robuster MA-Algorithmus, der das Modell direkt aus einem langen AR-Modell der Daten schätzt. Durbin039s Methode -6-- hat nie Probleme mit der Konvergenz. Es schätzt immer invertierbare Modelle, indem die Parameter eines langen autoregressiven Modells in einem linearen MA-Schätzverfahren verwendet werden. Invertierbare Modelle verfügen über alle Nullen.8.4 Gleitende Durchschnittsmodelle Anstatt frühere Werte der Prognosevariablen in einer Regression zu verwenden, verwendet ein gleitendes Durchschnittsmodell die vergangene Prognose Fehler in einem Regressionsmodell. Y c et the theta e dots theta e, wobei et weißes Rauschen ist. Wir bezeichnen dies als MA (q) - Modell. Natürlich beobachten wir nicht die Werte von et, also ist es nicht wirklich Regression im üblichen Sinne. Man beachte, daß jeder Wert von yt als gewichteter gleitender Durchschnitt der letzten Prognosefehler betrachtet werden kann. Allerdings sollten gleitende Durchschnittsmodelle nicht mit der gleitenden glatten Glättung verwechselt werden, die wir in Kapitel 6 besprochen haben. Ein gleitendes Durchschnittsmodell wird für die Prognose zukünftiger Werte verwendet, während die gleitende gleitende Durchschnittskurve für die Schätzung des Trendzyklus der vergangenen Werte verwendet wird. Abbildung 8.6: Zwei Beispiele für Daten aus gleitenden Durchschnittsmodellen mit unterschiedlichen Parametern. Links: MA (1) mit yt 20e t 0,8e t-1. Rechts: MA (2) mit y t e t - e t-1 0,8e t-2. In beiden Fällen ist e t normal verteiltes Weißrauschen mit Mittelwert Null und Varianz Eins. Abbildung 8.6 zeigt einige Daten aus einem MA (1) - Modell und einem MA (2) - Modell. Das Ändern der Parameter theta1, dots, thetaq führt zu unterschiedlichen Zeitreihenmustern. Wie bei autoregressiven Modellen wird die Varianz des Fehlerterms et nur den Maßstab der Reihe ändern, nicht die Muster. Es ist möglich, jedes stationäre AR (p) - Modell als MA (infty) - Modell zu schreiben. Beispielsweise können wir dies bei einem AR (1) - Modell demonstrieren: begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 e et amp phi13y phi12e phi1 e et amptext end Vorausgesetzt -1 lt phi1 lt 1 wird der Wert von phi1k kleiner, wenn k größer wird. So erhalten wir schließlich yt und phi1 e phi12 e phi13 e cdots, ein MA (infty) Prozess. Das umgekehrte Ergebnis gilt, wenn wir den MA-Parametern einige Einschränkungen auferlegen. Dann wird das MA-Modell invertierbar. Das heißt, dass wir alle invertierbaren MA (q) Prozess als AR (infty) Prozess schreiben können. Invertible Modelle sind nicht einfach, damit wir von MA-Modellen auf AR-Modelle umwandeln können. Sie haben auch einige mathematische Eigenschaften, die sie in der Praxis einfacher zu verwenden. Die Invertibilitätsbedingungen sind den stationären Einschränkungen ähnlich. Für ein MA (1) Modell: -1lttheta1lt1. Für ein MA (2) - Modell: -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - theta2 lt 1. Kompliziertere Bedingungen gelten für qge3. Wiederum wird R diese Einschränkungen bei der Schätzung der Modelle berücksichtigen.
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